मान लीजिए कि फलन f(x) = begin{cases} -3ax^2 - | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे सतत होना चाहिए और बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ समान होना चाहिए।$x = 1$ पर स

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(A) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे सतत होना चाहिए और बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ समान होना चाहिए।$x = 1$ पर सांतत्य: $\lim_{x 	o 1^-} (-3ax^2 - 2) = \lim_{x 	o 1^+} (a^2 + bx) \implies -3a - 2 = a^2 + b$.$x = 1$ पर अवकलनीयता: $\frac{d}{dx}(-3ax^2 - 2)|_{x=1} = \frac{d}{dx}(a^2 + bx)|_{x=1} \implies -6a = b$.सांतत्य समीकरण में $b = -6a$ रखने पर: $-3a - 2 = a^2 - 6a \implies a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a - 1)(a - 2) = 0$.चूँकि $a > 1$,इसलिए $a = 2$ है। तब $b = -6(2) = -12$.अतः,$f(x) = \begin{cases} -6x^2 - 2, & x क्षेत्र $y = f(x)$ और $y = -20$ द्वारा परिबद्ध है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:$x $x \geq 1$ के लिए: $4 - 12x = -20 \implies 12x = 24 \implies x = 2$.क्षेत्रफल $A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (f(x) - (-20)) dx + \int_{1}^{2} (f(x) - (-20)) dx$.$A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (-6x^2 + 18) dx + \int_{1}^{2} (24 - 12x) dx$.$A = [-2x^3 + 18x]_{-\sqrt{3}}^{1} + [24x - 6x^2]_{1}^{2}$.$A = (-2 + 18) - (2(3\sqrt{3}) - 18\sqrt{3}) + (48 - 24) - (24 - 6) = 22 + 12\sqrt{3}$.$\alpha + \beta \sqrt{3}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 22, \beta = 12$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta = 22 + 12 = 34$.

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